Маленькi кроки до Великої теореми Ферма. 358 рокiв вiд примiтки на полях до елiптичних кривих і модулярних форм - Кудінов, Микола Валерійович (Zenodo, 2026)
Стаття присвячена багатогранній науковій спадщині П’єра де Ферма (1607–1665) — геніального французького математика та фізика, чиї ідеї протягом майже чотирьох століть залишаються рушійною силою розвитку точних наук. У роботі детально проаналізовано шлях розв’язання Великої теореми Ферма, а також внесок вченого в алгебру, теорію ймовірностей, оптику та сучасну теорію чисел. Центральне місце в дослідженні посідає Велика теорема Ферма та еволюція методів її доведення. Детально розглянуто винайдений Ферма метод нескінченного спуску для випадку n=4, його вдосконалення Леонардом Ейлером для n=3, а також успіхи Діріхле та Лежандра у підкоренні степеня n=5. Окрему увагу приділено революційному підходу Ернста Куммера: виявленню проблеми однозначної факторизації та створенню теорії ідеалів, що заклало фундамент сучасної алгебраїчної теорії чисел. Завершує цей розділ огляд тріумфального доведення Ендрю Вайлса, яке об’єднало еліптичні криві та модулярні форми. У статті представлено аналіз Малої теореми Ферма, її комбінаторні та теоретико-числові інтерпретації, а також дослідження чисел Ферма (звичайних та узагальнених) у контексті сучасного пошуку надвеликих простих чисел. Висвітлено роль Ферма як одного із засновників теорії ймовірностей через його листування з Блезом Паскалем щодо задачі про розподіл ставок. Описано метод факторизації Ферма, який сьогодні лежить в основі алгоритмів злому криптосистем, та «Різдвяну теорему» про суму двох квадратів. Поза межами чистої математики розглянуто фізичний принцип Ферма (принцип найменшого часу), який став фундаментальним законом геометричної оптики. Стаття також окреслює сучасний стан спадщини Ферма через призму гіпотези Біла та ABC-гіпотези, демонструючи, як старовинні задачі перетворюються на сучасні виклики вартістю в мільйони доларів. Матеріал демонструє універсальність ідей Ферма, їхній вплив на сучасну криптографію, фізику та комп’ютерні науки. Робота супроводжується графічними ілюстраціями, логічними схемами та сучасними математичними інтерпретаціями, що робить складні концепції доступними для глибокого розуміння.
Small Steps Towards Fermat's Last Theorem. 358 Years from a Margin Note to Elliptic Curves and Modular Forms
Keywords: П’єр де Ферма; Велика теорема Ферма; Мала теорема Ферма; еліптичні криві; метод нескінченного спуску; теорія ідеалів; теорія ідеалів; числа Ферма; еліптичні криві; теорія ймовірностей; метод факторизації; принцип Ферма; ABC-гіпотеза; історія математики